MAKALAH BARISAN DAN DERET

DAFTAR ISI

Halaman Judul                                                                                                       i

Daftar Isi                                                                                                                ii

Kata Pengantar                                                                                                       iii

BAB I PENDAHULUAN..........................................................................

A.       Latar Belakang                                                                                         1

B.       Rumusan Masalah..........................................................................          1

C.       Tujuan                                                                                                      1

BAB II PEMBAHASAN

A.       Pengertian Barisan dan Deret........................................................          2

B.       Barisan Aritmatika.........................................................................          3

C.       Deret Aritmatika                                                                                      6

Kumpulan Soal                                                                                                9

Kunci Jaawaban                                                                                              10

BAB III PENUTUP        

A.       Kesimpulan                                                                                              13

B.       Saran                                                                                                        13

Daftar Pustaka                                                                                                       14

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga papper tentang barisan dan deret aritmatika ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa penulis juga mengucapkan terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya.

Dan harapan penulis semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi papper agar menjadi lebih baik lagi.

Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman penulis, penulis  yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Surakarta, 30 Maret 2016

Penulis

 KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga papper tentang barisan dan deret aritmatika ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa penulis juga mengucapkan terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya.

Dan harapan penulis semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi papper agar menjadi lebih baik lagi.

Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman penulis, penulis  yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Surakarta, 30 Maret 2016

Penulis

BAB II
PEMBAHASAN

A.      Pengertian Barisan dan Deret

1.      Barisan Bilangan

Perhatikan susunan bilangan berikut :

a.       1, 2, 3, 4, 5,…;                 dinamakan barisan bilangan asli

b.      2, 4, 6, 8, 10,…;               dinamakan barisan bilangan asli genap

c.       1, 3, 6, 10, 15,…;             dinamakan barisan bilangan segitiga

d.      1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…;       dinamakan barisan bilangan Fibonacci

Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-suku barisan. Bilangan pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u₁, suku kedua dengan u₂, suku ketiga dengan u₃, suku ke-k dengan u_k,…, demikian seterusnya sampai suku ke-n dengan u_n(n bilangan asli).

Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilangan asli berhingga, barisan itu dinamakan barisan berhingga. Suku ke-n dilambangkan dengan u_n disebut suku umum barisan. Pada umumnya, suku ke-n atau u_n merupakan fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli n.

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama u₁, bilangan kedua u₂, bilangan ketiga u₃, …, dan bilangan ke-n adalah u_n, maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai

 u₁, u₂, u₃, ... , u_k, ... , u_n

Contoh :

1)      Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke-n dirumuskan sebagai u_n = 3_n + 1

Jawab :

Suku ke-n, u_n = 3_n + 1

Untuk n = 1, diperoleh u₁ = 3(1) + 1 = 4

n = 2, diperoleh u₂ = 3(2) + 1 = 7

n = 3, diperoleh u₃ = 3(3) + 1 = 10

Jadi, tiga suku pertama barisan itu adalah u₁ = 4, u₂ = 7, dan u₃ = 10.

1)      Tentukan rumus umum suku ke-n untuk barisan berikut ini, jika empat buah suku pertama diketahui sebagai berikut.

a)      4, 6, 8, 10, . . .                                    b) 1, 9, 25, 49, . . .

Jawab :

a)      4, 6, 8, 10, . . .;        barisan dengan suku pertama u₁ = 4 dan selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan sama dengan 2.

Jadi, u_n = 2_n + 2

b)      1, 9, 25, 49, . . .;      dapat ditulis sebagai (1)², (3)², (5)², (7)², ...; barisan dengan suku-sukunya merupakan kuadrat dari bilangan asli ganjil.

Jadi, u_n = (2_n – 1)².

2.      Deret

Perhatikan kembali barisan  Jika suku-suku tersebut dijumlahkan dalam bentuk u₁, u₂, u₃, ... , u_k, ... , u_n, maka penjumlahan barisan tersebut dinamakan deret. Jumlah suku-suku pada barisan hingga n suku pertama dinyatakan dengan S_n. Misalnya jumlah 5 suku pertama ditulis S_{n =} u_{1 +} u₂+ u_{3 +} u₄ + u₅ .

Contoh :

1)      Diketahui suatu deret 2 + 4 + 6 + …, hitunglah jumlah 5 suku pertama.

Jawab:

Sn = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Jadi, jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah 30.

B.      Barisan Aritmatika

Perhatikan barisan aritmatika 1, 3, 5, 7,… dan 2, 4, 6, 8,….; setiap selisih anatara dua suku yang berurutat adalah tetap nilainya yaitu:

3-1 = 5-3 = 7-5 =…= 2

4-2 = 6-4 = 8-6 =…= 2

Secara umum u₁, u₂, u₃, ... , u_n adalah barisan aritmatika apabila u₂ – u₁= u₃ – u₂ = u₄ – u₃ = konstanta. Konstanta ini disebut beda dan dinyatakan dengan b.

Sehingga barisan aritmatika dapat kita definisikan sebagai berikut:

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum :

u₁, u₂, u₃, ... , u_n  atau

a, ( a + b ), ( a + 2b ), ... , (a + (n – 1) b)

Pada barisan aritmatika, berlaku u_n – u_n-1 = b , sehingga u_n = u_n-1 + b.

a.         Rumus umum suku ke-n pada Barisan Aritmatika

Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, maka suku barisan itu dapat divisualisasikan sebagai berikut :

I u₁ = a

I u₂ = a + b

I u₃ = a + 2b

I u₄ = a + 3b

I u_n = a + ( n -1 ) b

Berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan di atas, maka rumus suku ke-n untuk barisan aritmatika dapat ditentukan dengan hubungan berikut.

Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, rumus umum suku ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh :

I u_n = a + ( n -1 ) b

Contoh :

1)   Carilah suku pertama, beda, dan suku ke-6 dari barisan aritmatika 4, 1, -2, -5, . . .

Jawab :

Barisan 4, 1, -2, -5, …

Suku pertama     u1 = a = 4,

Beda                   b = 1 – 4 = -3,

Suku ke-6           u₆= a + 5b = 4 + 5(-3) = -11

Jadi, suku pertama a = 4, beda b = -3, dan suku ke-6 adalah u₆ = 11 

b.         Suku tengah pada barisan aritmatika

Suku tengah suatu barisan aritmatika dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini.

Misalkan barisan aritmatika yang terdiri dari atas (2k-1) suku : u₁, ... ,u_k, ... , u_2k-1, maka suku tengahnya adalah u_k.

Suku tengah u_k = a + (k-1) b = ½{2a+2(k-1)b} = ½{a+a+(2k-2)b} = ½ {u₁+ u_2k-1}. Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan u_k = ½ {u₁+u_2k-1}.

Contoh :

1)   Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, …, 95. Banyak suku pada barisan itu adalah ganjil.

a)    Carilah suku tengahnya

b)   Suku keberapakah suku tengahnya itu?

c)    Berapakah banyak suku barisan itu?

Jawab :

a)    Barisan 3, 5, 7, 9, …, 95. Suku pertama a = u₁= 3, beda b = 2, dan suku terakhir u_2k-1 = 95.

u_k = ½ (u₁+u_2k-1) = ½ (3 + 95) = 49

Jadi, suku tengahnya adalah 49.

b)   Dari hasil a), diperoleh :

U u_k = a + ( k-1) b = 49

⇔ 3 + (k-1)2 = 49

⇔ 2k = 48

⇔ k = 224

Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-24.

c)    Banyaknya suku barisan itu sama dengan 2k – 1 = 2(24) – 1 = 47.

c.         Sisipan pada barisan aritmatika

Misalkan diantara dua bilangan real x dan  (dengan x ≠ y ) akan disisipkan sebanyak k buah bilangan ( k bilangan asli). Bilangan – bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan itu membentuk suatu barisan aritmatika. Susunan bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan dapat divisualisasikan dengan menggunakan bagan sebagaimana diperlihatkan berikut ini.

Di antara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Nilai beda barisan aritmatika yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan

 b =( y – x) / (k + 1)

Dengan x dan y bilangan real (x ≠ y ) dan k bilangan asli.

Contoh :

1)   Di antara bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Carilah beda dari barisan aritmatika yang terbentuk.

Jawab :

Diketahui x = 4, y = 28, dan k = 5

Didapat b =( y – x) / (k + 1) =  (28-4)/(5+1)=4

Jadi, beda barisan aritmatika yang terbentuk adalah b =4 .

A.      Deret Aritmatika

Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmatika disebut sebagai deret aritmatika. Sebagai contoh :

·      Dari barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, …, 99 dapat dibentuk deret aritmatika 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99,

·      Dari barisan aritmatika 2, 4, 6, 8, …, 2n dapat dibentuk deret aritmatika 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n.

Dari contoh di atas dapat disimpulkan, jika u₁, u₂, u₃, ... , u_n, merupakan suku – suku barisan aritmatika, maka u₁ + u_{2 +} u₃ + ... + u_n dinamakan sebagai deret aritmatika.

a.         Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan S_n , dan S_nditentukan oleh :

S_n = u₁ + u₂  +  u₃ + ... + u_n-2 + u_n-1 + u_n

Substitusikan u₁ = a, u₂  = a+b,  u₃ = a+2b ,  u_n-2 = u_n – 2b, u_n-1 =u_n – b; diperoleh

S_n = a + (a+b) + (a+2b) + ... +  (u_n– 2b) + (u_n – b) + u_n …(*)

Jika urutan suku-suku penjumlahan pada persamaan (*) itu dibalik,  diperoleh:

S_{n =} u_n + (u_n – b) + (u_n – 2b) + ... + (a+2b) +  (a+b) + a … (**)

Jumlahkan masing masing ruas pada persamaan (*) dengan persamaan (**), sehingga diperoleh :

Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut.

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika u₁+ u_{2 +} u₃ + ... + u_n  ditentukan dengan menggunakan hubungan :

S_n = n/2 (a+ u_n)

Dengan n = banyak suku, a = suku pertama, dan u_n  = suku ke-n.

a.         Sifat-sifat S_n pada deret aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.

1.        S_n = n/2 (a+ u_n)merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan.

2.        Untuk setiap n bilangan asli berlaku hubungan S_n - S_{n-1 =} u_n (Suku ke-n).

Contoh :

1)        Hitunglah jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60.

Jawab :

Untuk menghitung jumlah deret pada soal di atas, perlu ditentukan terlebih dulu banyak suku atau n melalui hubungan u_n = a + (n-1)b.

2 + 4 + 6 + … + 60, a = 2, b = 2, dan u_n = 60

60 = 2 + (n-1) 2

⇔ 60 = 2n

⇔ n = 30

S₃₀ = 30/2 (a+ u₃₀) = 15(2+60) = 930

Jadi, jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60 adalah S₃₀ = 930

KUMPULAN SOAL

1.      Rumus umum suku ke-n dari suatu barisan ditentukan melalui hubungan u_n= an² + bn. Suku ke-2 dan suku ke-7 dari barisan itu masing-masing sama dengan 8 dan 63.

a.       Hitunglah nilai a dan nilai b

b.      Tentukan suku ke-10

2.      Tulislah deret bilangan berikut ini, kemudian tulislah hasil penjumlahannya.

a.       Deret 6 bilangan asli kelipatan tiga yang pertama

b.      Deret 5 bilangan segitiga yang pertama

c.       Deret 6 bilangan persegi yang pertama

3.      Suku ke-3 suatu barisan aritmatika sama dengan 11, sedangkan suku ke-10 sama dengan 39.

a.       Carilah suku pertama dan beda barisan itu

b.      Carilah rumus suku ke-n

4.      Suku ke-5 suatu deret aritmatika adalah 40 dan suku ke-8 deret itu adalah 25.

a.       Tentukan suku pertama dan beda deret aritmatika itu

b.      Hitunglah jumlah sepuluh suku pertama dari deret aritmatika itu

5.      Diketahui suku ke-3 dan suku ke-7 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 17 dan 37. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah…

KUNCI JAWABAN

1.        Nilai a dan b, serta suku ke-10 adalah

a.         Rumus umum suku ke-n : u_n= an²+ bn

·           Suku ke-2 sama dengan 8, diperoleh hubungan:

 a(2)² + b(2) = 8

⇔ 4a + 2b = 8

⇔ 2a + b = 4                                                                          (*)

·           Suku ke-7 sama dengan 63, diperoleh hubungan:

A a(7)2 + b(7) = 63

⇔ 49a + 7b = 63

⇔ 7a + b = 9   .................................. (*)

Persamaan (*) dan (**) membentuk sistem persamaan linear dua variabel (dengan variabel a dan variabel b) sebagai berikut:

2a + b =4

7a + b =9

Solusi atau penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel diatas adalah a = 1 dan b = 2.

Jadi, nilai a = 1 dan b = 2.

b.         Berdasarkan hasil perhitungan a rumus umum suku ke-n dapat dinyatakan sebagai u_n= n² + 2n.

Untuk n = 10 diperoleh u₁₀ = (10)² + 2(10) = 120

Jadi, suku ke-10 dari barisan itu adalah u₁₀ = 120.

2.        Deret bilangan dan jumlahnya adalah

a.       3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18

S_n = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 60

b.      1 + 3 + 6 + 10 + 15

S_n = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

c.       1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36

S_n = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91

3.        Suku pertama dan beda, serta rumus suku ke-n adalah

a.        u₃ = 11 → a + 2b = 11       ........................ (1)

u₁₀ = 39 → a + 9b = 39 .... ........................ (2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat 𝑎=3dan 𝑏=4.

Jadi, suku pertama a = 3 dan beda b = 4.

b.       u_n = a + (n-1) b

    = 3 + (n-1) 4

    = 4n-1

Jadi, rumus suku ke-n adalah u_n = 4n-1.

4.        Suku pertama, beda serta jumlah ssepuluh suku pertama adalah

a.       Suku ke-5 sama dengan 40

u₅ = 40 → a + 4b = 40            .....        (1)

Suku ke-8 sama dengan 25

u₈ = 25 → a + 7b = 25            ......        (1)

Kedua persamaan di atas membentuk system persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya adalah a = 60 dan b = -5.

Jadi, suku pertama dan beda dari deret aritmatika itu berturut-turut adalah a = 60 dan b = -5

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Suatu barisan disebut barisan aritmatika jika untuk sebarang nilai n berlaku hubungan : , dengan b adalah suatu tetapan (konstanta) yang tidak bergantung pada n. Rumus umum suku ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh : . Suku tengahnya ditentukan oleh hubungan . Di antara dua bilangan  dan  disisipkan sebanyak  buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Nilai beda barisan aritmatika yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan : , dengan  dan bilangan real ( dan  bilangan asli. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika  ditentukan dengan menggunakan hubungan :  dengan n = banyak suku,  = suku pertama, dan  = suku ke-n.

B.     Saran

Penulis menyarankan agar pembaca tidak hanya mengetahui barisan dan deret aritmatika pada papper ini, namun juga memperbanyak latihan mengerjakan soal dan dapat membedakan barisan dan deret aritmatika serta geometri.

DAFTAR PUSTAKA

Anwar, Cecep dan Pesta. 2008. “Matematika Aplikasi Untuk SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam”.Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Sari, Ratna. 2014. “Barisan dan Deret Aritmatika” (Online), (http://ratnasari15.blogspot.co.id/2014/11/barisan-dan-deret-aritmatika.html, diakses tanggal 28 Maret 2016).

TIM Erlangga Fokus SMA. 2013.”Erlangga Fokus UN SMA/MA 2014 Ilmu Pengetahuan Alam”. Jakarta: Erlangga

Wirodikromo, Sartono. 2007. “Matematika Untuk SMA Kelas XII”. Jakarta : Erlangga.

Jika Sobat Wikimatematika ingin mempunyai file dokumen Makalah Basrisan dan Deret Aritmatika langsung saja DOWNLOAD DISINI .... Gratisss