Makalah Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Kata Pengantar

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Syukur alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. atas rahmat dan anugerah-Nya yang begitu besar, hingga penulis bisa menyelesaikan tugas makalah ini dengan baik. Tugas makalah ini disusun untuk memenuhi tugas salah satu mata kuliah yaitu Pembelajaran Matematika SMA. Penulis berharap dengan adanya makalah ini dapat membantu pembaca mengetahui apa yang dimaksudkan dengan sistem persamaan linier yang penulis buat berdasarkan pengambilan dari berbagai sumber.

Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada pembaca. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan laporan ini banyak kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, hingga penulis menghrapkan adanya kritik dan saran yang kiranya bisa memperbaiki kekurangan dan membangun dari pembaca.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Surakarta,    Maret 2016

Penulis

Daftar Isi

Halaman Sampul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i

Kata Pengantar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ii 

Daftar Isi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . iii 

BAB I : PENDAHULUAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

       A.  Latar Belakang. . . . . . . . . . .  . . . . . .  . . . . . . . .  . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . .1 

       B.  Masalah. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

BAB II : PEMBAHASAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

BAB III : PENUTUPAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

      A.    Kesimpulan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

      B.     Saran. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Daftar Pustaka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

BAB I

PENDAHULUAN

A.      Latar Belakang

Dalam era informasi dan era globalisasi dewasa ini yang diwarnai oleh persaingan yang ketat dalam penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK), sangat membutuhkan manusia-manusia cerdas, terampil dan profesional yang sanggup menguasai sains dan teknologi. Soedjadi (1994 : 1) mengemukakan bahwa untuk menghadapi abad 21 diperkirakan akan diwarnai oleh persaingan, bangsa Indonesia mutlak perlu memiliki warga yang bermutu dan berkualitas tinggi. Dalam upaya pengembangan kualitas manusia Indonesia, patokan minimal yang harus dicapai adalah tumbuhnya kemampuan berpikir logis dan sikap kemandirian dalam diri peserta didik. Untuk itu, sistem pembelajaran yang mengutamakan matematika dan ilmu pengetahuan lainnya menjadi prasyarat bagi proses pendidikan untuk membentuk manusia Indonesia yang mampu menghadapi dan mengantisipasi tantangan di masa yang akan datang (Semiawan, 1991 : 35).

Upaya pemerintah dengan dikeluarkannya Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 22 Tahun 2006 tentang standar isi untuk satuan pendidikan dasar dan menengah dan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 23 tahun 2006 tentang standar kompetensi lulusan untuk satuan pendidikan dan menengah serta Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) yang dilaksanakan mulai tahun 2006/2007 melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 24 tahun 2006 merupakan langkah strategis untuk menjawab kelemahan-kelemahan pembelajaran (Muslich, 2007:12).

Oleh karena itu, guru harus memiliki wawasan yang luas khususnya materi-materi yang diajarkan kepada siswa sehingga guru juga mampu mengetahui batasan-batasan materi yang dipelajari di setiap jenjang pendidikan selain guru dapat memiliki wawasan luas juga sebagai apersepsi proses pembelajaran di kelas.

B.      Masalah

1.      Apakah sistem persamaan linier itu ?

2.      Apakah sistem persamaan linier dua variabel itu ?

3.      Metode-metode  menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel ?

BAB II 

PEMBAHASAN

1.        Pengertian Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier (SPL) adalah gabungan dua atau lebih persamaan linier yang saling berkaitan satu dengan lainnya.

Didalam SPL itu ada yang namanya selesaian, selesaian adalah nilai pengganti peubah yang menyebabkan persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar. Dan proses dari selesaian itu biasanya disebut penyelesaian (selalu berkurung kurawal).

2.        Pengertian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Persamaan linier dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat tiap-tiap variabel sama dengan satu.

Bentuk umum persamaan linier dua variabel adalah :

ax + by = c

Dimana :  x dan y adalah variabel

Sedangkan sistem persamaan dua variabel adalah dua persamaan linier dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum sistem persamaan dua variabel adalah :

ax + by = c

px + qy = r

Dimana : x dan y dise but variabel

 a, b, p dan q disebut koefisien

 c dan r disebut konstanta

3.        Metode-Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Metode-metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel sebagai berikut :

a.      Metode Eliminasi

Dalam metode eliminasi, salah satu variabel dieliminasikan atau dihilangkan untuk mendapatkan nilai variabel yang lain dalam Sistem Persamaan Linier Dua Variabel tersebut. Untuk mengeliminasi suatu variabel, samakan nilai kedua koefisien variabel yang akan dieliminasi, kemudian kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangkan.

b.      Metode Substitusi

Dalam metode substitusi, suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain  dari SPLDV tersebut. Selanjutnya, variabel ini digunakan untuk mengganti variabel lain yang sama dalam persamaan lainnya sehingga diperoleh persamaan satu variabel.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dari 3x + 4y = 11 dan x + 7y  = 15

Penyelesaian :

3x + 4y = 11 . . .  persamaan (1)

x + 7y = 15 . . .  persamaan (2)

Dari persamaan (2) didapat : x = 15 – 7y . . . persamaan (3)

Kemudian substitusikan pesamaan (3) ke persamaan (1) :

 3x + 4y = 11

⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 ⇔   45 – 21y + 4y = 11⇔        - 21y + 4y = 11 – 45
                                                                                                          ⇔                - 17y = - 34   ⇔                      y = 2

Nilai  y = 2 kemudian substitusikan  y  ke persamaan (3)

 x = 15 – 7y
 x = 15 – 7(2)

 x = 15 – 14

 x = 1

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya {(1, 2)}

c.      Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Dalam metode ini, nilai salah satu variabel terlebih dahulu dicari dengan metode eliminasi. Selanjutnya, nilai variabel ini disubstitusikan ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel sama.

Contoh :

Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !

Penyelesaian :
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh :
2x – 5y = 2     ×1       2x – 5y = 2
x + 5y = 6       ×2       2x +10y = 12   -
                                        -15y = -10
                                           y = (-10)/(-15)
                                           y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.
x + 5y = 6⇔  x + 5 (2/3) = 6⇔  x + 10/15 = 6⇔               x = 6 – 10/15

⇔               x = 22/3

Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(22/3,2/3)}

d.      Metode Grafik

Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik adalah titik potong kedua garis dari persamaan linier penyusunan. 

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1, untuk x, y ∈ R dengan menggunakan metode grafik.

Penyelesaian:

Tentukan terlebih dahulu titik potong dari gais-garis pada sistem persamaan dengan sumbu-sumbu koordinat seperti berikut ini:

X	0	5
Y	5	0
(x, y)	(0, 5)	(5, 0)

·         Titik potong sumbu x, syarat y = 0

x + y = 5

x + 0 = 5

x = 5

Jadi titik potongnya (5,0)

·         Titik potong sumbu y, syarat x = 0

x + y = 5

0 + y = 5

y = 5

Jadi titik potongnya (0,5)

Untuk garis  x - y = 1

X	0	5
Y	5	0
(x, y)	(0, 5)	(5, 0)

·         Titik potong sumbu x, syarat y = 0

x – y = 1

x – 0 = 1

x = 1

Jadi titik potongnya (1,0)

·         Titik potong sumbu y, syarat x = 0

x – y = 1

0 – y = 1

 y = -1

Jadi titik potongnya (0,-1)

Berdasarkan hasil diatas, kita bisa menggambarkan grafiknya seperti berikut ini:

Koordinat titik potong kedua grafik tersebut adalah (3, 2). Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1, untuk x, y ∈ R adalah {(3, 2)}.

Soal Latihan !

1.        Diketahui SPLDV berikut 

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan :

a.       Metode eliminasi

b.      Metode sebstitusi

c.       Metode gabungan (eliminasi dan substitusi)

d.      Metode grafik

Jawaban :

a.      Metode eliminasi

y + 2x = 8

2y – 7x = -6

 b. Metode substitusi

y + 2x = 8 . . . . . . . persamaan (1)

2y – 7x = -6 . . . . . . persamaan (2)

Ubah persamaan (1) menjadi y + 2x = 8 ↔y = 8 – 2x . . . persamaan (3)

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (2)

2y – 7x = -6 ⇔ 2(8 – 2x) – 7x = -6

 ⇔  16 – 4x – 7x = -6

⇔  16 – 11x = -6

⇔  -11x = -6 - 16

⇔  -11x = -22

⇔      x = 2

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1)

y + 2x = 8

y + 2(2) = 8

⇔ y + 4 = 8

⇔      y = 8 – 4

⇔      y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

c. Metode gabungan (eliminasi dan substitusi)

                       d. Metode grafik

Berdasarkan hasil diatas, kita bisa menggambarkan grafiknya seperti berikut ini:

Koordinat titik potong kedua grafik tersebut adalah (2, 4). Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y + 2x =8 dan 2y – 7x = -6 adalah {(2, 4)}.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Banyak permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan secara matematis. Salah satunya dengan cara membuat model SPLDV  permasalahan tersebut, kemudian mencari solusi SPLDV yang terbentuk. Ada beberapa metode untuk mencari solusi SPLDV. Pilihlah metode yang paling efektif untuk mencari solusi SPLDV agar Anda hemat waktu. Begitu juga dalam menyelesaikan setiap permasalahan tentu banyak cara mencari solusinya. Akan tetapi, pilihlah cara yang paling efektif agar solusi permasalahan tersebut segera diperoleh.

B.     Saran

Setiap metode mempunyai tingkat kesulitan masing-masing, pahami dan pelajari semua metode kemudian gunakan metode yang benar-benar Anda paham atau kuasai agar mudah dalam mengerjakan soal dan menghemat waktu dalam pengerjaannya.

Daftar Pustaka

Muklis, dkk. 2013. Matematika Kelas X untuk SMA/MA/SMK/MAK. Klaten: PT Intan Pariwara. Hal 54-57

http://Sistem persamaan linear dua variabel _ Cep Ayahnya Avicenna - Academia.edu.htm, diakses pada 28 Maret 2016

http://Konsep Matematika (KoMa)  Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).htm, diakses pada 28 Maret 2016

http://Cara Menyelesaikan Soal SPLDV dengan Metode Grafik.htm, diakses pada 31 Maret 2016

Jika ada yang membutuhkan file diatas dapat DIUNDUH DISINI